Menerapkan Konsep barisan dan Deret dalam Pemecahan Masalah

Menerapkan Konsep barisan dan Deret dalam

Pemecahan Masalah

1.Pola Bilangan, Barisan dan Deret

1. Pola bilangan adalah jajaran bilangan yang berbentuk bangun, misalnya sebagai berikut.pola bilangan segitiga, bentuknya :

Pola Bilangan Kuadrat/persegi bentuknya :

Pola bilangan persegi panjang, bentuknya :

1.Barisan bilangn adalah deretan bilangan yang dapat ditulis secara berurutan berdasarkan aturan tertentu, yang dimaksud aturan disini bias berupa rumus, bentuk aljabar, bentuk persamaan yang lainnya.masing-masing bilangn disebut suku barisan dan dilambangkan lambing “U”. suku umum dilambangkan dengan “U_n” di mana “n” menunjukkan nomor urut suku {n A, A = bilangn asli}.Contoh barisan bilangn ganjil : 1, 3, 5, 7, …..dan contoh barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, ……..

Contoh Soal dan Pemecahan :

1. Suatu barisan dalam bentuk rumus U_n = 2n + 3
   
   
   
   1. Tentukan barisan bilangn tersebut
   
   
   2. Tentukan U₁₅ dan U₂₀
   
   
   
   

PEMECHAN :

1. Jika rumus U_n = 2n + 3 maka barisan bilangan :              b. U₁₅ = 2(15) + 3 = 33

U₁ = 2(1) + 3 = 5                                                                   U₂₀ = 2(20) + 3 = 43

U₂ = 2(2) + 3 = 7

U₃ = 2(3) + 3 = 9

U₄ = 2(4) + 3 = 11

Barisan bilangan 5, 7, 9, 11, 13….

1. Deret bilangan adalah barisan bilangan yang dikatakan dengan tanda jumlah.

Contoh :

1.      1 + 3 + 5 + 7 + …                                       2.  2 + 4 + 6 + 8 + …

Jumlah deret bilangan dapat bilangan dapat dinyatakan dengan rumus S_n

2.   Notasi Sigma

Notasi Sigma adalah suatu cara untuk menyatakan bentuk penjumlahan yang singkat yang dilambangkan dengan “” dibaca “Sigma” yang merupakan huruf umum yunani dari huruf S yang merupakan huruf pertama dari kata “SUM” yang artinya jumlah Misalnya : an = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n

A_{1 =} suku ke Satu

A_{2 =} suku ke dua

A_{n =} suku ke-n

Secara umum a_i, dimana a_{i =} suku umum besaran yang di jumlah, p=batas bawah,dan q batas atas

1. Sifat – sifat Notasi Sigma
   
   
   
   1. a = a + a + … + a = n . a
   
   
   
   

n suku

1. 
   
   
   
   1. a_i = a_j
   
   
   
   

1. 
   
   
   
   1. a(b_j) = a b_j
   
   
   
   

1. 
   
   
   
   1. a_j = a_j-p
   
   
   2. (a_j+b_j) = a_i + = b_i
   
   
   
   

Contoh Soal dan Pemecahan :

1.            Ubahlah 3 + 6 + 9 + 12 + 15 ke notasi sigma.

Pemecahan :

a₁ = 3 = 3 . 1                Maka : 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 3i

a₂ = 6 = 3 . 2

a₃ = 9 = 3 . 3

a₄ = 12 = 3 . 4

a₅ = 15 = 3 . 5

B. BARISAN ARITMATIKA

1. Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap misalnya U_n menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut barisan aritmatika jika  U_n - U_n-1 selalu tetap.bentuk umum barisan aritmatika seperti berikut.

U_1,U_2,U₃…,U_n-1,U_n Atau a, a + b, a + 2b ,…, a + (n-1) b

Keterangan : U_{1 =} a = suku pertama

U_n - U_n-1 = beda = b

U_n = suku ke-n

n = banyaknya suku / urutan suku

Dengan melihat nilai b, kita dapat menentukan barisan aritmatika itu naik atau turun, sebagi berikut

a.       Bila b > 0 maka barisan aritmatika itu naik.

b.      Bila b < 0 maka barisan aritmatika itu turun.

Contoh Soal dan Pemecahan :

1.  tentukan suku ke 20 barisan bilangan berikut.

a)      2, 5, 8, 11, ….                       b) 9, 6, 3, 0, ….

Pemecahan :

a.       a = 2

b = 5 – 2 = 8 -5 = 11 – 8 = 3

n = 20

U_n = a + (n-1) b = 2 + (20-1). 3 = 63

b.   a = 9

b = 6 – 9 = 3 – 6 = 0 – 3 = -3

n = 20

U_n = 9 + (20-1) . -3 = 9 + (19) . -3 = 9 – 57 = 48

2. Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah jumlah suku – suku barisan aritmatika. Jika a adalah suku pertama deret aritmatika, U_n suku ke-n, S_n jumlah U_n maka :

S_n = a + (a+b) + (a+2b) + … + (U_n – 2b) + (U_n – b) + U_n

S_n = U_n + (U_n – b + (U_n – 2b) + … + (a+2b) + (a+b) + a

2S_n = (a+ U_n) + (a+ U_n) + (a + U_n) + … + (a+ U_n) + (a + U_n)

n

2S_n = n(a+ U_n)

S_n =

Karena U_n = a + ( n – 1)b, maka : S_n = =

Contoh Soal dan Pemecahan :

1)      Hitunglah jumlah deret aritmatika 4 + 9 + 14 + … +104

Pemecahan.

a = 4 , b = 9 – 4 = 5,  suku terahir = 104

U_n = a + (n-1) b

104 = 4 + (n-1) 5 = 4+ 5 n – 5 = -1 + 5n

105 = 5n

n = 21

Maka S_n = = = = = 1.134

3. Sisipan pada Deret Aritmatika

a. Pengertian Sisipan

Sisipan dalam deret aritmatikia adalah menembahkan beberapa buah bilangan di antara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmatika, sehingga terjadi deret aritmatika yang baru.

Comtoh :

Deret mula – mula  =    4         +       13         +          22        +          31     +   …

Setelah disisipi        =    4 + 7  + 10+13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31     +   …

b. Beda Deret Baru

Besar beda deret setelah diberi sisipan dinyatakan dengan b₁ dan dapat di tentukan dengan rumus berikut.

b = beda deret mula-mula k = banyak bilangn yang disisipkan

b₁ = b₁ = beda deret baru

Contoh :

Di antara dua suku yang berurutan pada deret 6 + 15 + 24 + 33 + … disisipkan 2 buah bilangn, maka :

b = 15 – 6 = 9 dan k = 2

b = = = 3

C.  BARISAN GEOMETRI

1. Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah sederetan bilangan yang berupa suku ( satuan) atau unit (U) dan ditulis secara berurutan, dimana perbandingan dua buah suku yang berurutan berharga konstan (tetap) dan dinamakan rasio yang di lambangkan dengan r. Sehingga r =

Contoh barisan geometri :

a.       1, 3, 9, 27, … rasio =  =  =  = 3

b.      16, -8, 4, -2, … rasio =  =  =  = -

2. Suku Ke-n Barisan Geometri

Misalkan a adalah suku pertama barisan geometri, r adalah rasio, dan U_n adalah suku Ke-n.

r =  maka U_n = r. U_n-1

U₂ = U₁ . r = ar = ar¹

U₃ = U₂ . r = (ar¹)r = ar²

U₄ = U₃ . r = (ar²)r = ar³

U₅ = U₄ . r = (ar³)r = ar⁴

U_n = ar^n-1

Dengan memadang rasionya maka diperoleh tiga jenis, seperti berikut.

a.       Jika rasio lebih besar (r > 1), maka suku – suku barisan semakin besar nilainya /naik.

b.      Jika rasionya 0 dan 1 (0 < r < 1), maka suku – suku barisan semakin kecil nilainya / turun.

c.       Jika rasio < 0, maka suku barisan berganti tanda disebut barisan naik turun.

Contoh Soal dan Pemecahan :

1.      Diketahui barisan geometri 6, 18, 54, 162, ….. Tentukan suku pertama, rasio, suku ke 5 dan suku ke n.

Pemecahan :

Suku pertama = a = 6

Rasio = r = = = = 3

Suku ke 5 = U₅ = ar^5-1= 6 . 3⁴ = 6. 81 = 486

3.  Deret Geometri

Jika S_n adalah jumlah n suku pertama, r adalah rasio, dan a adalah suku pertama suatu deret geometri, maka :

S_n = a + ar + ar² + … + ar^n-2 + ar^n-1 +

rS_n = ar + ar² + ar³ + … + ar^n-1 + ar^n-1 + arⁿ

S_n – rS_n = a + 0 + 0 + … + 0 + 0 + - arⁿ

(1 – r) S_n = a – arⁿ

S_n =  … (1) → digunakan jika 0 < r < 1

S_n =   …  (2)→ digunakan jika r > 1

Contoh Soal dan Pemecahan :

1.      Suatu deret geometri 4, 2, 1, …. Hitunglah :

A. rasio                        b. besar suku U₈ c. jumlah suku ke-10

Pemecahan :

a. rasio =                  b. U_n = ar^n-1 U₈ = 4.()⁷ =

 

c.        r < 1 maka S_n =

S₁₀ = = = 8= 2³ – 2^-7 = 8 - 7

 

4. Deret Geometri Tak Hingga

Deret gometri tak hingga adalah deret geometri yang menyatakan banyaknya suku deret geometri itu tak terhingga banyaknya yaitu apabila n menuju bilangan yang besar sekali.

Contoh deret geometri tak hingga : a. 1 + 2 + 4 + 8 + …, r = 2

b. 9 + 3 + 1 + + …, r =

Contoh : a.  U_n menuju bilangan yang cukup besar, jika n menuju bilangan yang besar

Maka dinamakan deret geometri naik tak terhinga, S_n tak terhinga.

b.  U_n menuju atau mendekati nol maka dinamakan deret geometri turun tak

terhingga.

Jumlah deret geometri turun tak terhingga : S_n = =  - , 0 < r < 1

= 0 maka  S_n = - 0  S_n =

DOWNLOAD FALI DI SINI UNTUK LEBIH JELAS DAN LENGKAP